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扩频系统的伪随机序列

归档日期:10-30       文本归类:地面遥测装置      文章编辑:爱尚语录

  3.1 伪随机码的概念 ? 3.1.1 伪随机码的特点 Shannon 编码定理指出 : 只要信息速率 Ra 小 于信道容量 C, 则总可以找到某种编码方法 , 使在码字相当长的条件下, 能够几乎无差错地 从遭受到高斯白噪声干扰的信号中复制出原 发送信息。 ? 一是Ra≤C; 二是编码字足够长。 Shannon在证明编码定理的时候 , 提出了用具 有白噪声统计特性的信号来编码。 白噪声是 一种随机过程, 它的瞬时值服从正态分布, 功率 谱在很宽的频带内都是均匀的 , 它有极其优良 的相关特性。 ? 高斯白噪声的理想特性为 ? 两个条件: n0 Rn (? ) ? ? (? ) 2 n0 Gn (? ) ? 2 ? 但是,至今无法实现对白噪声的放大、调 制、检测及同步等控制 ? 只能用具有类似于带限白噪声统计特性的 伪随机码信号来逼近,并作为扩频系统的 扩频码 ? 扩频系统将伪随机码序列与待传消息波形 相乘或序列模 2 加之后,对射频载波进行 调制,而后发射 ? 作为扩频系统的伪随机信号应具有的特点: 尖锐的自相关函数,而互相关函数接近于0 ? 2. 足够长的码周期以抗侦破、抗干扰 ? 3. 足够多的独立地址数以实现码分多址要求 ? 4. 易于产生和控制 ? 1. ? ? 3.1.2 移位寄存器序列 在工程中用得最多的是二进制序列产生伪随机码。 二进制序列中的元素只有两个取值“ 0” 或“ 1” 。 对应的波形如图所示。 由此可见, 二进制序列中 的两个取值分别对应于电信号的两个电平 , 正电 平和负电平, 而且是一一对应的关系 (PN码+1代 表0,-1代表1) ? 1. 线性移位寄存器的数学描述 线性反馈移位寄存器:反馈电路中只含有线 性逻辑,如乘法器和模2加法器等。非线性反 馈移位寄存器:反馈电路中除含有线性逻辑 外,还包含有与门,或门及非门等非线性逻 辑。线性反馈移位寄存器简称线性移位寄存 器或线. 线性移位寄存器的序列与递推关系 下图是一个4级线性移位寄存器的电路原理图 。它由4级寄存器和一个模2加法器构成,4个 寄存器自左至右依次称为第1,2,3,4级, 每级寄存器可以取0或1这两个状态之一。 设移存器的初始状态为(a3,a2,a1,a0),即寄 存器自左至右分别为a3,a2,a1,a0,当一个移 位脉冲过后,每一级的内容移给下一级,最 末一级,即第4级的内容就是输出。在移位脉 冲的作用下,移存器的输出为 a0, a1, a2, a3,a4,… ? a0, a1, a2, a3,a4,…序列称为一个移位 寄存器序列,它适合的递推公式为 当移位寄存器的初始状态为(1000)时,输 出序列为: 101….(周期为6的序列 ) 当移位寄存器的初始状态为(1111 )时, 输出序列为: 100…. 由此可知:同一个线性移存器,由于初始 状态不同,产生的序列可能完全不同。一 个移存器序列,不仅取决于它对应的递推 关系,而且与移存器的初始状态有关 N级线性移存器的电路为:(左边为第一级对应 an-1,,序列则为先入先出) 设移存器的初始状态为(an-1,an-2,…a1,a0)当加 上一级移位脉冲,每一级的内容右移下一级,最 末一级的输出即第n级的内容为输出,移存器内容 变为(an,an-1,…a2,a1)其中 再加一个移位脉冲,移存器内容为 (an+1,an,…a2), 其中 如不断的加移位脉冲,则移存器输出序列为 : a0,a1,a2… 其线性递推关系式为 不同的移存器可以产生不同的周期序 列,即使同一个n级移存器,由于初始 状态不同也可能产生完全不同甚至连 周期都不相同的周期序列。 但是任何一个非退化的n级线)产生的序列必然是周期 的,且周期 一个n级线n个,因而全体序列有 2n 个,记它们全体的集合为G, 令 如果定义 因为ak+bk满足递推关系 所以 不难看出,G对于上述规定的加法运算来说 构成一个交换群(群——具有一种运算及逆 运算的集)。全0序列为G 的单位元。如果 规定GF(2)中的元素c与G中元素的乘积为 那么G可以看作是GF(2)上的一个向量空间 域F 域——一些元素组成的集合,集合中所定义的任意 两元素的加法和乘法,其和与积仍是集合中的元素。 在这个集合中乘法和加法满足交换律和分配律。必 包括一个0元素和一个单位元素(1)。每一元素都 有唯一的负元素与之和为0;任意非0元素存在唯一 逆元素与之积为1.上述规则的元素构成域,记为F ? F中元素个数叫做F的阶,若阶有限,称为有限域, 又称伽罗华域。有限域一般用GF(p)表示,p为素数 ? 伽罗华域对模p的加法和乘法自封。 ? a ? b ? (a ? b) p a ? b ? ( a ? b) p 3. 生成函数与生成多项式 设一个n级线性移位寄存器适合递推公式 由它产生的移位寄存器序列为 a=(a0,a1,a2…) 定义序列a的生成函数 定义序列n级线性移位寄存器的生成多项式 即一个n级线性移位寄存器的生成多项式 的系数就是该移位寄存器对应的各级的抽 头(反馈系数) 结论: ? F(x)和f(x)乘积次中xn,xn+1,…的系数全为0, F(x)f(x)是一个次数不大于(n-1)的多项式 ? 如果给定一个n级线性移位寄存器[可知f(x)]和它 的初始状态[可知F(x)] ,可由上式计算出对应的 线性移存器序列 例: 线性移存器的生成多项式f(x)=1+x3+x4,若 它的初态为(1000),求对应的输出序列 解:线性移存器的电路为: 由 于是 因此生成函数 它对应的序列为:0001…. a0, a1, a2, a3,a4,… 注: 由生成函数表达式 求相应序列的过程就是将有理分式展成幂 级数的过程 总结:一般n级线性移存器序列的解算步骤 1. 写出生成多项式f(x) 2. 计算出b0,b1,… bn-1 3. 把生成函数按幂级数展开,即可得到 对应的初始状态为an-1,an-2,…a0的n级 线性移位寄存器序列对应的多项式 ? 二进制序列一般可由移位寄存器产生(后面的m 序列同样可由此产生), 故由移位寄存器产生的序 列就称之为移位寄存器序列(SSRG, Simple Shift Register Generator,简单型)。 1 2 3 4 5 6 输出 ? 移位寄存器序列产生器 ? 另外一类移位寄存器序列发生器称为 模件抽头码序列发生器( MSRG, Multireturn Shift Register Generator)。 下 图给出了一个MSRG的例子。 1 2 3 4 5 ? MSRG的例子 ? 模2加的运算规则图所示 1 1 0 0 1 0 1 0 模2加法表 由此可得所示SSRG图产生的序列为: 10 00 00 10 00 01 10 00 10 10 01 11 10 10 00 11 10 01 00 10 11 01 11 01 10 01 1010 10 11 11 1 , 共63位, 即其周期为63。 1 2 3 4 5 6 输出 3.1.3 序列的相关特性 ? 在扩频系统中, 对伪随机序列而言, 最关心 的问题就是其相关特性 , 包括自相关特性、 互相关特性及部分相关特性: ? 设有两条长为 N 的序列 {a} 和 {b}, 序列中的 元素分别为ai和bi, i=0, 1, 2, 3, 4, …, N-1, 则序列的自相关函数Ra(j)定义为 ? Ra ( j ) ? ? ai ai ? j i ?1 N ? 由于{a}为周期性序列(取值+1,常常用+1代表 0,用-1代表 1 ), 故有aN+i=ai。 其自相关(系 数,常混用)ρa(j)定义为 1 N ? a ( j ) ? ? ai ai ? j N i ?1 序列{a}和序列{b}的互相关函数Rab(j)定义为 Rab ( j ) ? ? ai bi ? j i ?1 N 互相关系数定义为 1 ? ab ( j ) ? N ?a b i ?1 N i i? j ? 对于二进制序列, 可以表示为 A? D ? ab ( j ) ? N 式中 : A 为 {a} 和 {b} 的对应码元相同数目; D为{a}和{b}的对应码元不相同数目。 若ρab(j)=0, 则定义序列{a}与序列{b}正交。 ? 定义序列 {a} 的部分相关函数和部分相关系 数(常混用)分别为 ? RabP ( j ) ? P ? t ?1 i ?t ?a a i ?t i i? j P?N P?N 1 RabP ( j ) ? N 式中t为某一常数。 P ? t ?1 ?a a i i? j 3.1.4 伪随机码的定义 ? 白噪声是一种随机过程 , 瞬时值服从正态 分布, 有极好的相关特性 ? 伪随机序列是针对白噪声演化出来的。采 用编码结构, 只有“0”和“1”两种电平。 因此, 伪噪声编码概率分布不具备正态分 布形式。 但当码足够长时, 由中心极限定 理可知, 它趋近于正态分布。 由此伪随机 码定义如下: ? ? (1) 凡自相关系数具有 2 a ? i ?1 i ?0 N N ?1 ?1 ?N ? ?a ( j) ? ? ?1 ? ?N j=0 ?a a i ?1 i i? j 1 ?? N j≠0 形式的码, 称为狭义伪随机码。 ? (2) 凡自相关系数具有 2 a ? i ?1 i ?1 N N ?1 ?N ? ?a ( j) ? ? ?1 ? ?N j=0 ?a a i ?1 i i? j ? c ?1 j≠0 形式的码, 称为第一类广义伪随机码。 ? (3) 凡互相关系数具有 ρab(j)≈0 形式的码, 称为第二类广义伪随机码 (4) 凡相关函数满足(1)、 (2)、 (3)三者 之一的码, 统称为伪随机码 ? 3.2 m序列 ? 3.2.1 m序列的产生 ? 1. m序列的含义 ? m序列是最长线性移位寄存器序列,n级移位寄 存器共有2n种状态,除去全0状态,还有2n-1 种。故能产生的最大长度的码序列为 2n-1 位, 周期也必须为 2n-1 。产生 m序列的线性反馈 移位寄存器称作最长线性移位寄存器序列 ? CDMA蜂窝移动系统,使用2种m序列—— 一种是n=15的短码m序列(正向区分不同 基站);另一种是n=42的长码m序列(反 向,区分不同用户) 2. m序列的产生 c0 an- 1 c1 an- 2 c2 a n- 3 c3 … … cr- 1 an- (r- 1) a n-r cr 输出 ? 反馈移位寄存器结构 (C0=Cr=1) ? 一个线性反馈移位寄存器能否产生以及产 生什么样的m序列,取决于反馈系数 Ci (Cn, Cn-1, C1… C0) ,常以8进制表示; 其中C0, C1, C2… Cn均为反馈线,表示反馈连接。因为m序列是由 循环序列发生器产生的,因此C0和Cn肯定 为1,即参与反馈。而反馈系数C1, C2… Cn1若为1,参与反馈;若为0,则表示断开反 馈线,即开路、无反馈连线。 ? M序列产生器例图 a n- 1 a n- 2 a n- 3 a n-4 输出 由图可知, C0=1, C1=1, C2=0,C3=C4=1, 反馈系数Ci =(11011)2 。若给定一种初态 (除全0外),则可产生周期为24-1=15的m序列。 (参看教材例题) ? m序列的反馈系数表 3.3 m序列的性质 ? 3.3.1 m序列的随机性 ? 1. 均衡性 ? 在m序列的一个周期内, “1”和“0”的数目基 本相等。 准确地说 , “1”的个数比“ 0”的个 数多一个。(m序列中不允许出现全0状态!) 2. 游程分布 ? 一个序列中取值相同的那些相继元素合称一个游程。 在一个游程中, 元素的个数称为游程长度。 ? m序列游程分布 ——一个周期内,长度为 1 (单个0 或单个 1 )的游程占总游程的 1/2 ;长度为 2 (即 00 或 11 )的游程占总游程的 1/4 ;长度为 3 ( 000 或 111)的游程占总游程的1/8……, ? 一般m序列中,游程总数为 2n-1。游程长度为 K的游 程比例为1/2k,而1≤ K ≤n-2,此外,还只有1个包 含n个1的游程,也只有1个包含n-1个“0”游程,不 含n-1个“1”的游程(思考) ?思考:为什么不含n-1个“1”的游程? 为什么不含n-1个“1”的游程? ? 证明: 令n=4,由于只有1个“1111”游程,必 取…011110….形式,即当4个寄存器出现 1111态之后,其次态必取0111,这由反馈逻 辑决定! 令有1个n-1的1游程,必取…01110… 形式。因为1110态之后,由相同的反馈逻辑, 次态必为1111(而出现不了0111),即3个1 游程出现了01111…的形式,即有4个1的游 程,与假设的存在3个1的游程相悖。所以, 不存在n-1个1的游程。 移位相加性 ? 一个序列{an}与其经m次迟延移位产生的另一 不同序列 {an+m} 模 2 加 , 得到的仍然是 m 序列 ({an}的某次迟延移位序列{an+k}), 即 {an}+{an+m}={an+k} ? 3. 周期性 ? m 序列的周期为 P = 2n-1, n 为反馈移位寄 存器的级数。 ? 5. 伪随机性 ? 如果对一正态分布白噪声取样 , 若取样值 为正, 记为“+”。 若取样值为负, 记为 “-” , 则将每次取样所得极性排成序列 , 可以写成 …++-+--+---+-+--+++--… ? 4. ? 这是一个随机序列, 具有如下基本性质: ? (1) 序列中“+”和“-”的出现概率相 等 ? (2) 序列中长度为1的游程约占1/2, 长度 为2的游程约占1/4, 长度为3的游程约占 1/8 ? (3) 由于白噪声的功率谱为常数, 自相关 函数为一冲激函数δ(τ) m序列的相关特性 ? 周期函数s(t)的自相关函数定义为 ? 3.3.2 1 Rs (? ) ? T T是s(t)的周期 ? T /2 ?T / 2 s (t ) s (t ? ? )d? ? 对于 取值 为 “ 1” 和 “ 0” 的 二 进制码序列 N ?1 i ?0 (常常用+1代表 0,用-1代表 1 ){an}, 自 相关函数值为 R( j ) ? ? ai ai ? j 其相关系数为 1 1 N ?1 A? D ? ?? (移位相加性) ? ( j ) ? ? ai ai ? j ? ?? P P i ?0 P ? 1 ? ? j ? 0? ? j ? 0? ? 移位相加后仍然为m序列,1比0多一个,即两个彼此移位 的m序列间,对应位不同的个数比对应位相同的个数多1, 即A-D=-1 二者常混用! ? m序列的互相关特性(多值函数) ? 参见教材P60 ? R(τ)的波形图 当周期NTc很长及码元宽度Tc很小时, R(τ)近似于 冲激函数δ(τ)的形状。 1 -NTc -Tc ? 1 N Tc NTc t 3.3.3 m序列的功率谱 ? 信号的自相关函数和功率谱之间形成一 傅里叶变换对, 即 ? ?G (? ) ? ? R(? )e ? j?? d? ??? ? ? 1 ? j?? ? R(? ) ? G ( ? ) e d? ? 2? ?? ? ? 由于m序列的自相关函数是周期性的, 1 N ? 1 2 ?Tc 2k? G(? ) ? 2 ? (? ) ? Sa ( ) ? ? (? ? ) 2 N N 2 k ??? NTc k ?0 则 对应的频谱是离散的。 自相关函数的波 形是三角波, 对应的离散谱的包络为 Sa2(x) 。 由此可得 m 序列的功率谱 G(ω) 为 ? Gc (? ) Sa2 ( Tc ?) 2 ? 2π Tc o 2π NTc 2π Tc ? ? m序列的功率谱(Tc为伪码chip的持续时间) ? 由此可得: (1) m序列的功率谱为离散谱, 谱线) 功率谱的包络为Sa2(Tcω/2N), 每个分量的功 率与周期N成反比 (3) 直流分量与N2成反比, N越大, 直流分量越小, 载漏越小 (4) 带宽由码元宽度Tc决定, Tc越小, 即码元速率 越高, 带宽越宽 (5) 第一个零点出现在2π/Tc (6) 增加m序列的长度N, 减小码元宽度Tc, 将使 谱线加密, 谱密度降低, 更接近于理想噪声特性 3.4 Gold 码 3.4.1 地址码的选择 ? 码分多址 ,可用的伪码数越多组网能力越强。 扩频通信是用码的形状差异来区分通信地址 的一种选址通信方式 ? 故地址码性能的好坏, 直接关系到系统性能的 优劣。一般来说, 对于不同的网其地址码是不 同的, 不同网的地址码的互相关值应为零,即 地址码正交 ? ?1 ?T ci (t )c j (t ) d t ? ? ?0 ? 式中ci(t)为地址码的波形。 i? j i? j 此式表明, 正 交码型就是不同的码的互相关值很小的码 型。 这类码就是第二类广义伪随机码。 ? 对地址码的一般要求: (1) 有良好的自相关、 互相关和部分相关特性 (2) 码序列要多 (3) 有一定的长度 (4) 易于实现系统的同步, 捕捉时间要快 (5) 易于实现、 设备简单、 成本低 ? m序列的缺陷 ? 使用 m 序列作为码分多址通信的地址码时, 互为优选对的序列集很小 ? 9 级移存器产生 48 个 m 序列(反馈逻辑不 同),取出 1 个序列可找到 12 个 m 序列与 其相关最大值为 33 ;但找不到多于 3 个序 列的组,使其任意两序列间的互相关最大 值为33 ? 若要增多地址数,只能降低互相关要求 Gold序列具有良好的自、互相关特性,且地 址数远远大于m序列地址数,结构简单,易 于实现,工程上应用广泛 ? 3.4.2 Gold码的产生 1. m序列优选对 ? m 序列优选对 , 是指在m序列集中 , 其互相 关函数最大值 ( 的绝对值 Rmax) 最接近或达 到互相关值下限的一对 m 序列(小于某个 值的两条 m 序列);或者说互相关函数最 大值的绝对值最小的一对m序列 设序列{a}是对应于r阶本原多项式(只能整 除(1+X^2r-1)的r次不可约多项式(不能表示 为2个次数小于本身的多项式之积))f(x)产生 的m序列; 序列{b}是对应于r阶本原多项式g(x) 产生的m序列; 当它们的互相关函数值Rab(τ)满 足不等式 ?1 r为奇数 ? r2 ?2 ? 1 Rab (? ) ? ? r ? 2 ?2 2 ? 1 r为偶数, 但不被4整除 ? ? f(x)和g(x)产生的m序列{a}和{b}构成一优选对 ?注: 由于阶数为4的整数倍的码序列,没有理想 的三值互相关函数,因而没有Gold码序列 ? 不同码长的m序列优选对的最大互相关值 ? 部分优选对码表 Gold码的产生方法 ? Gold码是m序列的组合码, 是由两个长度 相同、 速率相同, 但码字不同的m序列优 选对模2加后得到的, 具有良好的自、 互 相关特性, 且地址码数远远大于m序列。 一对 m 序列优选对可产生 2r + 1 条 Gold 码 ( m 序列的数目少, Φ (2n-1 ) /n 条 (Φ (n ) 欧拉函数,对于正整数 n ,小于等于 n 的 数中与n互质的数的数目,如Φ (8)=4, 即1,3,5,7与8互质))。 这种码发 生器结构简单, 易于实现, 工程中应用广 泛( WCDMA 系统,区分不同基站和用 户)。 ? 2. ? 设序列 {a} 和序列 {b} 为长 N = 2r - 1 的 m 序 列优选对。 以{a}序列为参考序列, 对{b} 序 列进行 移位 i 次 , 得到 {b} 的移 位序列 {bi}(共2r-1条,i=0, 1, …, N-1), 然后与{a} 序列模 2加后得到一新的长度为 N 的序列 {c} ( 2r-1 再加 {a} 和 {b} 本身序列,共计 2r+1条,远多于m序列数目 )。 则此序 列就是Gold序列, 即 ? {ci}={a}+{bi} i=0, 1, …, N-1 (a) (b) ? Gold码发生器(结合教材例子) ? (a) 串联结构; (b) 并联结构 3.4.3 Gold码的相关特性 ? 由 m 序列优选对模 2 加产生的 Gold 码族中 的2r-1条Gold码序列已不再是m序列, 也 不具有m序列的游程特性和二值相关特性。 但Gold码族中任意两序列之间互相关函数 都满足 ? ?1 ? r2 ?2 ? 1 Rab (? ) ? ? r ? 2 ?2 2 ? 1 ? r为奇数 r为偶数, 但不被4整除 ? Gold序列的互相关函数(三值函数) ?注: 由于阶数为4的整数倍的码序列,没有理想 的三值互相关函数,因而没有Gold码序列 ? 3.4.4 平衡Gold码 平衡 Gold 码是指在码序列中“ 1” 的个 数比“0”的个数多一个的码 ? ? 平衡码有优良的自相关特性 ? Gold码平衡与非平衡码数量表(n为奇数) ?由表可见, 第一类的码序列(平衡码)中“1” 的个数为2r-1个, “0”的个数为2r-1-1个。 “1” 的个数比“0”的个数多1个。 这种平衡码有2r-1 +1条。 第2类, 第3类为非平衡码。 ? 码平衡性与载波抑制的关系 3.4.5 产生平衡Gold码的方法(重点!) ? 1. 特征相位 为了寻找平衡Gold码,首先确定特征相位 ? 最长线性移位寄存器序列都具有特征相位。 当序列处于特征相位时 , 序列每隔一位抽 样后得到的序列与原序列完全一样,这是 序列处于特征相位时的特征(R .Gold给出 定义) ? 序列的特征多项式即本原多项式 f(x) ,序列的 特征相位由特征相位多项式(g(x)/f(x)的比值) 确定。 g(x)为生成函数,是一阶数小于等于n 的多项式 ? g(x)的计算方法如下: d[ xf ( x )] g ( x) ? dx d[ xf ( x )] g ( x) ? f ( x) ? dx r为奇数 r为偶数 ?序列生成多项式(特征相位多项式) g ( x) G( x) ? f ( x) 长除后就可得到处于特征相位 的m序列 (结合教材例子) 相对相位 ? 现在讨论由 m 序列优选对产生平衡 Gold 码 的移位序列的相对相位。 ? 令序列{a}和序列{b}为处于特征相位的 m序 列优选对。当r为奇数,其序列生成多项式 可表示为 1 ? c( x ) G( x) ? 1 ? d ( x) ? 2. d(x)的阶数为n,c(x)的阶数小于n,进行长除的 结果将是1+…… 的形式,所以处于特征相位 的序列的第一位必为1(参看教材例子) ? 总结:产生平衡Gold码的一般步骤: (1) 选一参考序列, 其本原多项式为fa(x), 求出 序列生成函数ga(x) (2) 由G(x)=ga(x)/fa(x)求出序列生成(特征相 位)多项式, 使得序列{a}处于特征相位上 (3) 同样方法求序列{b}, 并进行移位使{b}位移 序列的初始状态的第一位为“0”, 即处于相对 相位, 对应于{a}的第一位“1” (4) 将处于特征相位的{a}序列与处于相对相位 的{b}序列模2加, 就可得到平衡Gold码序列 ? 例:构成r=11的Gold码序列产生器, 已知m序 列的优选对为4005和7335(参考教材)。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 r=11的Gold码序列发生器 3.5 M 序 列 ? 定义:M序列是最长序列,由线性移位寄存 器产生,码长为2n的周期序列,已达到n级 移存器所能得到的最长周期,又称全长序 列 ? 3.5.1 M序列的构成方法 ? M 序列的构造方法很多 , 可在m序列的基础 上插入全“ 0” 状态获得:通过一定的反馈 逻辑,要使全0 状态的后续状态为原m序列 的0…01即可。 也可用搜索的方法获得(了解)。 ? 无论何种方法 , 只要满足对 r 级移位寄存器 所有的2r个状态都要经历一次, 而且仅经历 一次, 同时要满足移位寄存的关系即可。 ? ? 由m序列构成M序列 m序列已包含2r-1个非零状态, 缺少一个全“0”状 态。 因此,只要在适当的位置插入一个全零状态(r 个“0”), 即可使码长为2r-1的m序列变为码长为2r 的M序列。 为简化反馈逻辑,全零状态插入应在状态00…01之 后(注:寄存器状态自左到右为00…01), 使之出 现全零状态, 同时还必须使全零状态的后继状态为 100…0, 即状态的转移过程为 (00…01)→(000…00)→(100…00) 令初态为X1X2X3X4=0001,图中全0检测电路同 时起到检测0001和0000两个状态作用(或非)。 当检测到0001,输出“1”,使X1变为0,状态变 为0000; 当0000时,检测电路输出“1”,使X1 变为1,状态变为1000. X1 X2 X3 X4 全“0 ” 检测电路 ? 4级M序列发生器 输出 ? 四级M序列状态转移表 ? 3.5.2 M序列的性质 M序列的随机特性 (1) M序列的周期为2r, r是移位寄存器的 级数。 (2) 在长为N= 2r的M序列中, “0”与“1” 的个数相同, 即各占一半为2r-1 (3) 在长为2r的M序列中, 游程总数为2r-1, 其中“0”和“1”的游程个数相同(不含 长度为n-1的游程)。 ? 1. 2. M序列的条数 ? M序列的条数比 m 序列的条数多得多。 m序列的 条数为 ? ? ( 2 ? 1) n ? M序列的条数(不包括平移等价序列)为 n (Φ(n)欧拉函数,对于正整数n, 小于等于n的数中与n互质的数的数 目,如Φ(8)=4,即1,3,5,7与8 互质) NM ? 2 2n?1 ?n ? m序列与M序列的条数 ? 由上表 , 当r≥4时, M序列比m序列多得多。 当r=5时, m序列为6条, 而M序列有2048条, 是m序列的341倍。当r=8时, M序列是m序 列的 1.66×1035 倍。 故 M 序列作跳频和加 密码具有极强的抗侦破能力 3. M序列的相关特性 ? M 序列不再具有移位相加性,因而自相 关函数不具有双值特性,而是多值函数。 16 4 8 0 1 2 3 4 5 6 7 -4 -8 16 9 16 ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 16 ? ? n=4的M序列的相关特性 3.6 组合码 ? 码分多址要求可供选用的地址码数要多,抗 干扰能力要强,同步速度要快 ? m 序列可作为码分多址系统的地址码,但m 序列也存在一些缺点。例如,可供选用的地 址码数量少,且这种信号容易被截获 ? 要加大m序列周期,但会增加系统捕获时间 由于其自相关函数在相关搜索过程中不提供 一种指示,以控制移位方向和跳步位数来实 现快捕,只能指示捕到或未捕到 ? 而由m序列组合而形成的组合码,又称为复 合序列或复码,其自相关函数除主峰外,还 有一些有规律的边峰,在搜索过程中可以提 供更多的信息以加快捕获 3.6.1 组合码的构造方法 组合码一般由短码组合而成。 ?由两个或更多个周期较短的码(子 码)通过一定的逻辑函数关系构成 周期较长的长码 ? 假定有n个子码,其周期分别为P1, P2,…,Pn,当它们的周期两两互素时, 即(Pi,Pj)(公因数)=1, i≠j,由它们构 成的组合码的周期 ? P=P1P2 … Pn 组合码的形式主要由逻辑函数和子码的 形式决定 ? ?将第i 个周期为Pi的子码重复P/ Pi次, i=1,2,…,n,然后根据给定的 组合码与子码之间的逻辑函数关系, 逐项地确定出组合码各元素 ? 常用的组合码有两种形式:一种是 逻辑乘组合码,另一种是模2和组合 码 一、逻辑乘组合码 ? 通过一个例子来说明构造这种组合码的方法 令有两个子码a和b,分别为 a=1 1 1 0 1 0 0 b=1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 ? 要求按逻辑函数c=a?b构造一个长度为105 的组合码。已知子码a的周期Pa =7,子码b 的周期Pb=15,因此构造的组合码c的周期 =p(a)?p(b)=7×15=105 ? 构造逻辑乘组合码方法 1: ? 将a重复p(c)/p(a)=105 / 7=15次,将b重复 p(c)/p(b)=105 / 15=7次,然后求出对应元素 之积,就可得到组合码c ? a重复15次 110100 110100 110100 110100 110100 ? b重复7次 ? ? 根据乘法规则 0· 0=1· 0=0· 1=0 1· 1=1 对应元素之积c=a?b为 10100 00100 10000 构造逻辑乘组合码方法 2: 将其中一个子码,例如a各元素重复P(c)/P(a) =105 / 7=15次,将另一子码b重复P(c)/P(b)=105 /15=7次, 每个b有15位,每个b分别与a的元素乘,得a0.b, a1.b, … a6.b ? 由于1· b=b, 0· b=0 ? 所以,c=a· b=bbb015b015015 = 11110 ? 0010 0000 式中015表示0重复15次 ? 显然,当两个子码a和b的周期P(a)与P(b)互 素,即(P(a),P(b))=1时,分别用上述两 种方法构成的组合码将具有相同的0元素和1 元素 ? 注:这样构成的组合码c的自相关函数不再 具有二值自相关特性,但在局部时间区间内 仍有两个值 ? 例如在上例中,用直线段将组合码序列 的自相关函数离散值连接起来所构成的 组合码的自相关函数曲线 (a): 离散相关 函数; (b): 连续相关 函数; (c): 连续波形 的分解波 形 组合码的功率谱为上述各式之和, 即 ?o (?) ? ?1 (?) ? ?2 (?) ? ?3 (?) ? ?4 (?) 二、模2和组合码 组合码除以上可由若干子码逻辑乘构成外, 还可由若干子码模2和构成,称为模2和组合 码 ? 模2和组合码的一个重要特性是自相关函数 可表示成子码自相关函数的乘积 ? ?依然使用前面用过的两个子码 a=1 1 1 0 1 0 0 b=1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 实为将a的每个元素重复15次,令每个 元素与b进行异或运算 子码a的自相关波形 子码b的自相关波形 组合码c的自相关波形 ? 自相关波形是将自相关函数离散值用直 线段连接起来形成的 ? 结论: 模2和组合码序列自相关函数离散值等 于其子码序列自相关函数离散值的乘积 上述结论具有普遍意义 ? 例如,当两个子码a和b均为m序列,且它们 的周期P(a)和P(b)互素时,可以证明,由它 们构成的模2和组合码c的自相关函数为 3.7 R-S 码 3.7.1 R-S码的概念 ? R-S(Reed-Solomon) 码 , 是 在 域 GF(q) = GF(pr)上的一种特殊的BCH码, 或者说是一种 特殊的循环码。 ? ? R-S 码的每个元素取自 GF(q) 域中的 q 个 元素之一, 每位码都可以用模2域中的r维 矢量来表示。 其主要有: ? 元素总数 2r ? 元素表示 r维矢量 ? 码序列长度 N=q-1=2r-1 ? 码距 d=N-k+1 ? 信息位数 k=N-d+1 ? 码序列总数 2kr ? R-S码也是一种纠错码, 它的码距是按纠错 码定义的 , 码距 d 和纠正错误个数 t 之间的 关系为 ? d=2t+1 ? R-S [ 2r-1, k, d ]码是 GF(q)=GF(2r) 域上 的BCH码。 设α是GF(q)的一个本原根, 则 其生成多项为 g(x)=(x-α)(x-α2)…(x-αd-1)) ? 该多项式的运算是在 GF(q) = GF(2r) 域上 的加法和乘法运算。 ? R-S[2r-1, k, d]码的信息多项式 为 ? P(x)=α0+α1x+α2x2+…+αk-1xk-1 (3 - 101) 3.7.2 R-S码的性质 ? R-S码具有许多性质, 在此仅就其 中几个予以介绍: ? (1) R-S码是一种最佳的近似正交 码。 ? (2) R-S码是一种循环码, 任何码字 的循环位移仍在码集合中。 ? (3) R-S[N, k, d]码集中的任一 码字的自相关旁瓣不大于(k-2)/N。 ? (4) R-S[N, k, d]码集中的任何 两个码字任何时延下的互相关系数不大 于(k-1)/N。 ? (5) 与同样长度的m序列相比, R-S 码可供选取的码数最多。 ? 3.7.3 R-S码的产生 ? 由前已知, R-S码是根域与元素域 一致的BCH码, 所以给定生成多项式g(x) 后 , 可按循环编码方法找出典型的 G 或 H 矩阵 , 然后进行编码而得到 R-S 码 , 也可 用生成矩阵G和校验矩阵H来定义q元R-S 码。 ? 例 如 , 若 码 组 元 素 取 自 GF(q) = GF(2r)中, 求构造 ? d = 5 的 R-S 码 。 设 本 原 多 项 式 f(x)=1+x+x3。 ? 根据以 f(x) 为模求出的剩余类及 x7 +1的根与三重矢量表示之间对应关系如 表3 - 14所示。 ? ? 表3 - 14 f(x)=x3+x+1为模的剩余类及x7+1的根 与三重表示的对应关系 设 GF(23) 中本原元素为 α, 其阶为 23-1=7, 令码以(1, α, α2, α3, α4)作为根, 根据式(3 - 100), 码的生成多项式 ? g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)(xα4)=x4+α3x3+x2+αx+α3 ? ? 对应表3 - 14得g(x)为一个4次式, 其监督元为4, 最小距离为5, 有3个信息元 的非二进制(八进制)的(7, 3)码, 能纠正2 个随机错误。 每个R-S码码组码元αj都用 二进制三重表示, 因此从二进制来看是一 个(21, 9)码, 得到g(x)后, 可写出生成矩阵 为 ? x 2 g ( x)? ?1 ? 3 1 ? ? 3 0 0? ? ? ? ? 3 3 G ? ? xg ( x) ? ? ?0 1 ? 1 ? ? 0? 3? ? g ( x ) ? ?0 0 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 对其进行变换后, 得 ?1 0 0 ? 4 1 ? 4 ? 5 ? ? 2 6 6? G ? ?0 1 0 ? 1 ? ? ? ?0 0 1 ? 3 1 ? ? 3 ? ? ? α 0 α3 α 1 1 0 若信息码元为α0α, 则输出码组为 其二进制表示为 001000 思考与练习题 3 - 1 给定一个23级的移位寄存器, 可 能产生的最长码序列有多长?(223-1) ? 3 - 2 若m序列的特征多项式 f(x)=x5+x2+1, 试求出该 m 序列及其自相关函 数。 ? ? 1(? ? 0) ? ? (? ) ? ? 1 ? (? ? 0) ? ? 31

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